Ciao, in tanti anni ho raccolto parecchi interventi di Stimatissimi Colleghi e studiosi del particolare argomento. Se vi fa piacere provo a pubblicarlo, poi magari si potranno fare anche nostre considerazioni: E' solo una parte di quanto raccolto.
Ringrazio i Titolari degli articoli, alcuni conosciuti ed altri forse meno.
Se ne dimentico qualcuno mi scuso.
Timepiece
Ocram
oromaniac
Orantiqua
ed Altri
Comunemente si ritiene che l'ampiezza ottimale di oscillazione del bilanciere per un orologio da polso o da tasca debba ricadere intorno ai 270° nella posizione orizzontale. In tal senso si esprimono molti testi pratici di orologeria.
Tuttavia, dal punto di vista strettamente teorico, come dimostrato da Bessel, l'ampiezza ottimale di oscillazione orizzontale per minimizzare gli errori posizionali è all'incirca 220°.
Qualche tempo fa ebbi uno scambio di opinioni con Sergio (Orantiqua ), che mi confermò che dal suo punto di vista una notevole ampiezza di oscillazione non è un fattore determinante per giudicare la messa a punto di un movimento.
Sì, come scrivevo prima, è proprio così: la migliore ampiezza teorica di oscillazione è intorno ai 220°. Tuttavia, la maggior parte dei movimenti, appena revisionati, tendono ad oscillare - a piena carica - su un'ampiezza di 270-290°. Questo, tuttavia, è anche funzione di diversi parametri, come l'angolo di levata, lunghezza e rigidezza della spirale, inerzia del bilanciere, etc.
Nei manuali classici di orologeria questo argomento non è generalmente affrontato. Nel libro di Garuffa si distingue il caso di spirale "lunga" da quello di spirale "corta" spiegando semplicemente che in un caso le oscillazioni di grande ampiezza risultano meno rapide di quelle più piccola e viceversa. Ciò in omaggio al principio di Leroy, che recita: in ogni molla spirale di sufficiente lunghezza ebbi una lunghezza determinata per cui tutte le vibrazioni grandi e piccole sono isocrone; per una lunghezza superiore le grandi vibrazioni sono più lente delle brevi, ed inversamente per una lunghezza minore
In realtà la formula di Philips (approssimata!) per il periodo del gruppo bilanciere spirale è analoga (e non potrebbe essere altrimenti) a quella del pendolo semplice e si scrive

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dove l è la lunghezza della spirale, K la rigidezza flessionale della sua sezione e I il momento d'inerzia polare del bilanciere.
Come nel pendolo semplice, non entra quindi in gioco l'ampiezza delle oscillazioni.
Ne consegue che a livello pratico si ha l'impressione che l'ampiezza di oscillazione del singolo calibro sia generalmente determinata da una serie di fattori concomitanti e quindi in modo più o meno empirico.
Come in tutte le cose, l'ampiezza di oscillazione è uno dei punti di compromesso per il funzionamento ottimale dell'orologio.
Ci sono indubbiamente motivi per limitare l'ampiezza della oscillazione, come quelli da voi citati e come il fatto che si deve evitare che una oscillazione troppo ampia (molto oltre i 300°) possa far sbattere il rubino di impulso dalla parte opposta.
Allo stesso tempo ci sono motivi per fare in modo che sia l'ampiezza sia la più ampia possibile.
Ad esempio, la velocità del bilanciere è tanto maggiore quanto più è ampia l'oscillazione (lo spazio percorso dal bilanciere è maggiore, e per mantenere la stessa frequenza il bilanciere deve girare più velocemente). Questo significa maggiore quantità di moto (massa per velocità) e quindi minore sensibilità alle perturbazioni esterne.
Un altro fatto a favore di una oscillazione ampia è il tipo di oscillatore, in un bilanciere del tipo detached lever esiste un angolo di levata fisso (intorno ai 52°) durante il quale avviene il recupero di energia (l'impulso). Se l'impulso fosse realmente tale, cioè di durata infinitesima, allora l'ampiezza di oscillazione sarebbe poco importante. Ma in uno scappamento svizzero (e in misura minore anche in uno coassiale) l'impulso è tutt'altro che infinitesimo, quindi per ridurne l'influenza si deve aumentare l'ampiezza di oscillazione.
Certamente la riduzione della sensibilità del periodo alle azioni esterne è uno dei punti fondamentali nella progettazione dell'organo di regolazione (sistema bilanciere-spirale-scappamento). Infatti l'equazione del pendolo torsionale, che regge il problema degli orologi a bilanciere, trascura i termini dovuti alla gravità (si scrive infatti per il bilanciere in posizione orizzontale).
Tuttavia la velocità angolare è funzione della rigidezza della spirale e dell'inerzia del bilanciere secondo la radice quadrata del rapporto K/I e può essere definita teoricamente in modo indipendente dall'ampiezza dell'oscillazione.
La riduzione dell'influenza dell'impulso è invece una questione molto delicata e fu affrontata da Airy alla metà dell'Ottocento. Anche qui a livello teorico, come giustamente dici, l'ampiezza dell'oscillazione non dovrebbe avere influenza, mentre a livello pratico ne ha.
Io ho l'impressione che il ricorso ad ampie oscillazioni sia un modo per ottenere prestazioni ragionevoli su calibri di non eccessiva qualità (un po' come per la frequenza).
A questo proposito, ecco un diagramma che mostra come un errore di equilibrature del bilanciere tenda ad annullarsi intorno ai 220° e ad esaltarsi al di sotto di questo valore. Sembra quindi evidente che una scelta progettuale ragionevole possa essere quella di cercare di tenersi su ampiezze alquanto elevate per non cadere al di sotto dei 220°.
A 220° gradi si annulla l'errore dovuto al difetto di equilibrio del bilanciere.
La risposta viene dalla soluzione di una equazione integrale (del tutto simile a una scrittura araba) che esprime la funzione di marcia istantanea (ovvero la variazione di isocronismo) dovuta al solo squilibrio del bilanciere. Matematicamente, questa equazione dà come il risultato il valore zero quando l'amplitudine vale per l'esattezza 219,5574°.
C'è un fatto in più che si può vedere anche dalla forma grafica di quella funzione (che è stata postata anche qui): l'errore è decisamente minore per amplitudini superiori a 220°, il valore di errore è circa un sesto di quello che si avrebbe per piccole amplitudini (fino ai 90°).

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Questa equazione è quella aggiornata che viene correntemente insegnata nei corsi di teoria e costruzioni orologiere della facoltà di ingegneria di Le Locle.

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Partiamo dall'inizio. Lo studio delle caratteristiche dell'oscillatore spirale-bilanciere in maniera matematicamente approfondita risale all'inizio del secolo scorso. A fronte di un modello generale di teoria delle vibrazioni, chi studiava tale sistema si è reso conto che il modello non era soddisfacente per descrivere gli EFFETTI DELLE PERTURBAZIONI ESTERNE sull'oscillatore, in particolare sulla sua ampiezza e periodo.
E' stato allora che, mutuando moderne metodologie matematiche, si è reso possibile tramite la teoria delle perturbazioni, descrivere l'effetto dei seguenti elementi sull'oscillatore:
1) attriti costanti, viscosi di primo e secondo ordine
2) difetto di equilibrio del bilanciere (posizioni verticali)
3) difetto di equilibrio della spirale (posizioni verticali)
4) spostamento del baricentro della spirale durante le fasi di compressione-espansione
5) variazione di temperatura
6) influenza dello scappamento nel suo complesso.
ognuna di queste cause ha la sua equazione araba.
Quella postata è relativa al solo difetto di equilibrio del bilanciere ovvero il punto 3. Le altre, ed in particolare quella dello scappamento, sono ancora più ostiche.
Rimanendo sul "pezzo" e quindi sulla equazione postata essa va letta in questi termini qualitativi:
La seconda parte, ovvero l'integrale arabo ci dice che, indipendentemente dalle condizioni al contorno, a 220° circa il difetto di isocronismo dato dal difetto di equilibrio del bilanciere si annullla.
La prima parte invece ci dice che, se siamo in una condizione di difetto non nullo, esso è tanto più grande quanto maggiore è lo squilibrio del bianciere (numeratore) e tanto più piccolo quanto maggiori sono l'inerzia del bilanciere, la sua frequenza di oscillazione e la sua ampiezza massima di oscillazione (denominatore)
Della serie: se il mondo fosse limitato a questo aspetto, meglio un 43200 A/h con un bilanciere grande come un casa che oscilla al limite del ribattimento. Ma sappiamo bene che il mondo non si ferma qua.
Per dovere di cronaca, Airy nel 1826 scrisse la sua formula, che cadette subito nell'oblio. Linstedt e Poincarè furono i primi nel 1883 e 1892 ad applicare la teoria delle perturbazioni in abito astronomico. La prima applicazione della teoria delle perturbazioni alla risoluzione delle equazioni differenziali non lineari è di Van der Pol nel 1921, a cui seguì il famoso Haag nel 1930. Egli, riprendendo il metodo delle variazioni delle costanti introdotto da Laplace nel 1774, dimostrò rigorosamente la formula di Airy. Per farla breve, tutte le formule che descrivono le azioni perturbatrici sull'oscillatore possono essere ricondotte in forma generale alla formula di Airy, che però, nella sua prima espressione, è inutilizzabile perchè non esplicita.
I nomi dei più grossi studiosi di perturbazioni sono stati (in special modo per le spirali): Le Roy, Philips, Caspari, Keelhoff, Grossmann, Andrade, Defossez e specialmente Haag e Chaléat. Tutto il loro lavoro è stato recentemente riorganizzato proprio a Le Locle dal prof. Bovay.
https://www.youtube.com/watch?v=gIOd7Bpuw9U